<h1>题目</h1>
<h2>题目描述</h2>
$ C $ 国有 $ n $ 个大城市和 $ m $ 条道路,每条道路连接这 $ n $ 个城市中的某两个城市。任意两个城市之间最多只有一条道路直接相连。这 $ m $ 条道路中有一部分为单向通行的道路,一部分为双向通行的道路,双向通行的道路在统计条数时也计为 1 条。
$C$ 国幅员辽阔,各地的资源分布情况各不相同,这就导致了同一种商品在不同城市的价格不一定相同。但是,同一种商品在同一个城市的买入价和卖出价始终是相同的。
商人阿龙来到 $C$ 国旅游。当他得知同一种商品在不同城市的价格可能会不同这一信息之后,便决定在旅游的同时,利用商品在不同城市中的差价赚回一点旅费。设 $C$ 国 $n$ 个城市的标号从 $1$~ $n$,阿龙决定从 $1$ 号城市出发,并最终在 $n$ 号城市结束自己的旅行。在旅游的过程中,任何城市可以重复经过多次,但不要求经过所有 $n$ 个城市。阿龙通过这样的贸易方式赚取旅费:他会选择一个经过的城市买入他最喜欢的商品——水晶球,并在之后经过的另一个城市卖出这个水晶球,用赚取的差价当做旅费。由于阿龙主要是来 $C$ 国旅游,他决定这个贸易只进行最多一次,当然,在赚不到差价的情况下他就无需进行贸易。
假设 $C$ 国有$5$ 个大城市,城市的编号和道路连接情况如下图,单向箭头表示这条道路为单向通行,双向箭头表示这条道路为双向通行。
假设 $1$~$n$ 号城市的水晶球价格分别为 $4$,$3$,$5$,$6$,$1$。
阿龙可以选择如下一条线路:$1$->$2$->$3$->$5$,并在 $2$ 号城市以 $3$ 的价格买入水晶球,在 $3$号城市以 $5$的价格卖出水晶球,赚取的旅费数为 $2$。 阿龙也可以选择如下一条线路 $1$->$4$->$5$->$4$->$5$,并在第 $1$ 次到达 $5$ 号城市时以 $1$ 的价格买入水晶球,在第 $2$ 次到达 $4$ 号城市时以 $6$ 的价格卖出水晶球,赚取的旅费数为 $5$。
现在给出 $n$个城市的水晶球价格,$m$条道路的信息(每条道路所连接的两个城市的编号以及该条道路的通行情况) 。请你告诉阿龙,他最多能赚取多少旅费。
<h2>输入格式</h2>
第一行包含 $2$ 个正整数 $n$ 和 $m$,中间用一个空格隔开,分别表示城市的数目和道路的数目。
第二行 $n$ 个正整数,每两个整数之间用一个空格隔开,按标号顺序分别表示这 $n$ 个城市的商品价格。
接下来 $m$行, 每行有 $3$ 个正整数, $x$, $y$, $z$, 每两个整数之间用一个空格隔开。 如果 $z=1$,表示这条道路是城市 $x$到城市$ y$之间的单向道路;如果 $z=2$,表示这条道路为城市 $x$ 和城市$y$之间的双向道路。
<h2>输出格式</h2>
输出共$1$ 行, 包含 $1$ 个整数, 表示最多能赚取的旅费。 如果没有进行贸易,则输出 $0$。
<h2>样例输入</h2>
5 5
4 3 5 6 1
1 2 1
1 4 1
2 3 2
3 5 1
4 5 2
<h2>样例输出</h2>
5
<h1>解题报告</h1>
看到这个题目我们第一时间想到:对于在每一个点买入,要找的最高卖出价,也就是使差值最大。
当这个图是一个DAG时,直接动态规划就可以了。
但是如果有强连通分量的话,各强连通分量的点是互相可达的,所以说就先缩点,然后跑DP
至于DP转移:我们记录每个强连通分量的最大售价和最小进价,进而求出差值,转移即可。
详情看代码qwq
<h1>样例代码</h1>
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <stack>
#include <cstring>
#include <queue>
const int MAXN = 100000 + 5;
const int MAXM = 500000 + 5;
struct Node;
struct Edge;
int N,M;
Edge New_Graph(Node ,Node *);
Edge New_Scc(Node ,Node *);
int in[MAXN],tot,dist[MAXN],dfn[MAXN],low[MAXN],cor[MAXN];
int mincost[MAXN],maxcost[MAXN],ans[MAXN];
struct Node{
int num;
bool instack;
Edge *firstEdge;
}node[MAXN],scc[MAXN];
struct Edge{
Node s,t;
Edge *next;
}Graph_pool[MAXM 2],Graph_frog = Graph_pool,Scc_pool[MAXM 2],Scc_frog = Scc_pool;
Edge New_Graph(Node u,Node *v){
Edge *ret = ++Graph_frog;
ret->s = u;ret->t = v;
ret->next = u->firstEdge;
return ret;
}
Edge New_Scc(Node u,Node *v){
Edge *ret = ++Scc_frog;
ret->s = u;ret->t = v;
ret->next = u->firstEdge;
return ret;
}
inline void add_Graph(int u,int v){
node[u].firstEdge = New_Graph(&node[u],&node[v]);
}
inline void add_Scc(int u,int v){
scc[u].firstEdge = New_Scc(&scc[u],&scc[v]);
}
void init(){
for(int i = 1;i <= N;i++){
scc[i].num = node[i].num = i;
node[i].instack = false;
}
memset(mincost,0x3f,sizeof(mincost));
}
std::stack<Node *> s;
int timer = 0;
inline void tarjan(Node *v){
dfn[v->num] = low[v->num] = ++timer;
s.push(v);
v->instack = true;
for(Edge *e = v->firstEdge;e;e = e->next){
if(!dfn[e->t->num]){
tarjan(e->t);
low[v->num] = std::min(low[v->num],low[e->t->num]);
}
else
if(e->t->instack)
low[v->num] = std::min(low[v->num],dfn[e->t->num]);
}
if(dfn[v->num] == low[v->num]){
Node *r; ++tot;
do{
r = s.top();s.pop();
r->instack = false;
cor[r->num] = tot;
maxcost[tot] = std::max(maxcost[tot],dist[r->num]);
mincost[tot] = std::min(mincost[tot],dist[r->num]);
}while(r != v);
}
}
void Rebuild(){
for(int i = 1;i <= N;i++){
for(Edge *e = node[i].firstEdge;e;e = e->next){
if(cor[i] == cor[e->t->num] || cor[e->t->num] == cor[1] || cor[N] == cor[i])
continue;
add_Scc(cor[e->t->num], cor[i]);
++in[cor[i]];
}
}
}
void topsort(){
std::queue<Node *> q;
for(int i = 1;i <= tot;i++)
if(!in[i] && i != cor[N])
q.push(&scc[i]);
while(!q.empty()){
Node *v = q.front();q.pop();
for(Edge *e = v->firstEdge;e;e = e->next){
if(!--in[e->t->num])
q.push(e->t);
}
}
q.push(&scc[cor[N]]);
while(!q.empty()){
Node *v = q.front();q.pop();
ans[v->num] = std::max(ans[v->num],maxcost[v->num] - mincost[v->num]);
for(Edge *e = v->firstEdge;e;e = e->next){
if(!--in[e->t->num])
q.push(e->t);
maxcost[e->t->num] = std::max(maxcost[v->num],maxcost[e->t->num]);
ans[e->t->num] = std::max(ans[e->t->num],ans[v->num]);
}
}
}
int main(){
scanf("%d%d",&N,&M);
init();
for(int i = 1;i <= N;i++)
scanf("%d",&dist[i]);
for(int u,v,opt,i = 1;i <= M;i++){
scanf("%d%d%d",&u,&v,&opt);
add_Graph(u,v);
if(opt == 2)
add_Graph(v,u);
}
for(int i = 1;i <= N;i++)
if(!dfn[i])
tarjan(&node[i]);
Rebuild();
topsort();
printf("%dn",ans[cor[1]]);
return 0;
}