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图论中的最短路径算法


题目链接
最短路径指的是在一个图里,我们求出某一对点的最短的简单路径。我们有很多算法来解决这个问题。如Floyd,Dijkstra,SPFA等。

Floyd

适用范围

适用于当结点总数很小的时候,能在$ O(n^3) $的时间处理出图中每一对顶点的最短路径。当然,它只能用邻接矩阵存储。
基于DP思想。

样例代码

Dijkstra

适用范围

不能解决存在负权边的情况,适用于解决稠密图。
由于非常简单,不在陈述算法思想。
这里用了堆优化,要不然竞赛会卡到你怀疑人生

其实就是不断松弛,有兴趣的同学可以去Google一下。
本样例代码仍然是给出简洁易懂的指针写法。

样例代码

样例代码1

样例代码2

SPFA

适用范围

可以解决存在负权边时的情况,适合于解决稀疏图。
所以说有些凉心出题人会卡SPFA。。。
它可以解决存在负权边的图。并且速度比Bellman-Ford算法速度不知道高到哪里去了。
总之,这是一个非常简单实用的最短路径算法。
注:不适用于存在负权回路时的情况,因为这种情况不可能存在最短路径

算法实现

我们用数组d记录每个结点的最短路径估计值,而且用邻接表来存储图G。运用动态逼近法:设立一个先进先出的队列用来保存待优化的结点,优化时每次取出队首结点u,并且用u点当前的最短路径估计值对离开u点所指向的结点v进行松弛操作,如果v点的最短路径估计值有所调整,且v点不在当前的队列中,就将v点放入队尾。这样不断从队列中取出结点来进行操作,直至队列空为止。

样例代码

样例代码1

样例代码2

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2017-11-04
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