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题目

题目描述

$ C $ 国有 $ n $ 个大城市和 $ m $ 条道路,每条道路连接这 $ n $ 个城市中的某两个城市。任意两个城市之间最多只有一条道路直接相连。这 $ m $ 条道路中有一部分为单向通行的道路,一部分为双向通行的道路,双向通行的道路在统计条数时也计为 1 条。

$C$ 国幅员辽阔,各地的资源分布情况各不相同,这就导致了同一种商品在不同城市的价格不一定相同。但是,同一种商品在同一个城市的买入价和卖出价始终是相同的。
商人阿龙来到 $C$ 国旅游。当他得知同一种商品在不同城市的价格可能会不同这一信息之后,便决定在旅游的同时,利用商品在不同城市中的差价赚回一点旅费。设 $C$ 国 $n$ 个城市的标号从 $1$~ $n$,阿龙决定从 $1$ 号城市出发,并最终在 $n$ 号城市结束自己的旅行。在旅游的过程中,任何城市可以重复经过多次,但不要求经过所有 $n$ 个城市。阿龙通过这样的贸易方式赚取旅费:他会选择一个经过的城市买入他最喜欢的商品——水晶球,并在之后经过的另一个城市卖出这个水晶球,用赚取的差价当做旅费。由于阿龙主要是来 $C$ 国旅游,他决定这个贸易只进行最多一次,当然,在赚不到差价的情况下他就无需进行贸易。
假设 $C$ 国有$5$ 个大城市,城市的编号和道路连接情况如下图,单向箭头表示这条道路为单向通行,双向箭头表示这条道路为双向通行。

假设 $1$~$n$ 号城市的水晶球价格分别为 $4$,$3$,$5$,$6$,$1$。
阿龙可以选择如下一条线路:$1$->$2$->$3$->$5$,并在 $2$ 号城市以 $3$ 的价格买入水晶球,在 $3$号城市以 $5$的价格卖出水晶球,赚取的旅费数为 $2$。 阿龙也可以选择如下一条线路 $1$->$4$->$5$->$4$->$5$,并在第 $1$ 次到达 $5$ 号城市时以 $1$ 的价格买入水晶球,在第 $2$ 次到达 $4$ 号城市时以 $6$ 的价格卖出水晶球,赚取的旅费数为 $5$。
现在给出 $n$个城市的水晶球价格,$m$条道路的信息(每条道路所连接的两个城市的编号以及该条道路的通行情况) 。请你告诉阿龙,他最多能赚取多少旅费。

输入格式

第一行包含 $2$ 个正整数 $n$ 和 $m$,中间用一个空格隔开,分别表示城市的数目和道路的数目。
第二行 $n$ 个正整数,每两个整数之间用一个空格隔开,按标号顺序分别表示这 $n$ 个城市的商品价格。
接下来 $m$行, 每行有 $3$ 个正整数, $x$, $y$, $z$, 每两个整数之间用一个空格隔开。 如果 $z=1$,表示这条道路是城市 $x$到城市$ y$之间的单向道路;如果 $z=2$,表示这条道路为城市 $x$ 和城市$y$之间的双向道路。

输出格式

输出共$1$ 行, 包含 $1$ 个整数, 表示最多能赚取的旅费。 如果没有进行贸易,则输出 $0$。

样例输入

5 5 
4 3 5 6 1 
1 2 1 
1 4 1 
2 3 2 
3 5 1 
4 5 2

样例输出

5

解题报告

看到这个题目我们第一时间想到:对于在每一个点买入,要找的最高卖出价,也就是使差值最大。
当这个图是一个DAG时,直接动态规划就可以了。
但是如果有强连通分量的话,各强连通分量的点是互相可达的,所以说就先缩点,然后跑DP
至于DP转移:我们记录每个强连通分量的最大售价和最小进价,进而求出差值,转移即可。
详情看代码qwq

样例代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <stack>
#include <cstring>
#include <queue>

const int MAXN = 100000 + 5;
const int MAXM = 500000 + 5;

struct Node;
struct Edge;

int N,M;

Edge *New_Graph(Node *,Node *);
Edge *New_Scc(Node *,Node *);

int in[MAXN],tot,dist[MAXN],dfn[MAXN],low[MAXN],cor[MAXN];
int mincost[MAXN],maxcost[MAXN],ans[MAXN];

struct Node{
    int num;
    bool instack;
    Edge *firstEdge;
}node[MAXN],scc[MAXN];

struct Edge{
    Node *s,*t;
    Edge *next;
}Graph_pool[MAXM * 2],*Graph_frog = Graph_pool,Scc_pool[MAXM * 2],*Scc_frog = Scc_pool;

Edge *New_Graph(Node *u,Node *v){
    Edge *ret = ++Graph_frog;
    ret->s = u;ret->t = v;
    ret->next = u->firstEdge;
    return ret;
}

Edge *New_Scc(Node *u,Node *v){
    Edge *ret = ++Scc_frog;
    ret->s = u;ret->t = v;
    ret->next = u->firstEdge;
    return ret;
}

inline void add_Graph(int u,int v){
    node[u].firstEdge = New_Graph(&node[u],&node[v]);
}

inline void add_Scc(int u,int v){
    scc[u].firstEdge = New_Scc(&scc[u],&scc[v]);
}

void init(){
    for(int i = 1;i <= N;i++){
        scc[i].num = node[i].num = i;
        node[i].instack = false;
    }
    memset(mincost,0x3f,sizeof(mincost));
}

std::stack<Node *> s;
int timer = 0;

inline void tarjan(Node *v){
    dfn[v->num] = low[v->num] = ++timer;
    s.push(v);
    v->instack = true;
    for(Edge *e = v->firstEdge;e;e = e->next){
        if(!dfn[e->t->num]){
            tarjan(e->t);
            low[v->num] = std::min(low[v->num],low[e->t->num]);
        }
        else
            if(e->t->instack)
                low[v->num] = std::min(low[v->num],dfn[e->t->num]);
    }
    if(dfn[v->num] == low[v->num]){
        Node *r; ++tot;
        do{
            r = s.top();s.pop();
            r->instack = false;
            cor[r->num] = tot;
            maxcost[tot] = std::max(maxcost[tot],dist[r->num]);
            mincost[tot] = std::min(mincost[tot],dist[r->num]);
        }while(r != v);
    }
}

void Rebuild(){
    for(int i = 1;i <= N;i++){
        for(Edge *e = node[i].firstEdge;e;e = e->next){
            if(cor[i] == cor[e->t->num] || cor[e->t->num] == cor[1] || cor[N] == cor[i])
                continue;
            add_Scc(cor[e->t->num], cor[i]);
            ++in[cor[i]];
        }
    }
}

void topsort(){
    std::queue<Node *> q;
    for(int i = 1;i <= tot;i++)
        if(!in[i] && i != cor[N])
            q.push(&scc[i]);
    while(!q.empty()){
        Node *v = q.front();q.pop();
        for(Edge *e = v->firstEdge;e;e = e->next){
            if(!--in[e->t->num])
                q.push(e->t);
        }
    }
    q.push(&scc[cor[N]]);
    while(!q.empty()){
        Node *v = q.front();q.pop();
        ans[v->num] = std::max(ans[v->num],maxcost[v->num] - mincost[v->num]);
        for(Edge *e = v->firstEdge;e;e = e->next){
            if(!--in[e->t->num])
                q.push(e->t);
            maxcost[e->t->num] = std::max(maxcost[v->num],maxcost[e->t->num]);
            ans[e->t->num] = std::max(ans[e->t->num],ans[v->num]);
        }
    }
}

int main(){
    scanf("%d%d",&N,&M);
    init();
    for(int i = 1;i <= N;i++)
        scanf("%d",&dist[i]);
    for(int u,v,opt,i = 1;i <= M;i++){
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&opt);
        add_Graph(u,v);
        if(opt == 2)
            add_Graph(v,u);
    }
    for(int i = 1;i <= N;i++)
        if(!dfn[i])
            tarjan(&node[i]);
    Rebuild();
    topsort();
    printf("%d\n",ans[cor[1]]);
    return 0;
}

一个OIer。